通过倍增法构造长度为 64 的极值的 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码

极值的 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码是一类自对偶 $\mathbb{Z}_4$-码，其欧氏权能被 8 整除，且在给定长度下具有尽可能大的最小欧氏权。对于长度大于等于 $48$ 的情况，已知此类码的数量很少。倍增法是一种从给定 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码构造 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码的方法。基于倍增法，本文发展了一种从类型为 $4^k$、具有极值剩余码且长度为 $48, 56$ 或 $64$ 的极值 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码出发构造新极值 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码的方法。利用该方法，我们构造了三个长度为 $64$、类型为 $4^{31}2^2$ 的新极值 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码。此前未知此类型的长度为 $64$ 的极值 II 型 $\mathbb{Z}_4$-码。此外，所构造极值 $\mathbb{Z}_4$-码的剩余码是新的已知最佳 $[64,31]$ 二进制码，且其中一个码的剩余码与扭码的最小权码字支撑集构成了自正交 $1$-设计。