非负弱解的不稳定薄膜方程的新耗散能量

流体薄膜方程 $h_t = - (h^n h_{xxx})_x - a_1\,(h^m h_x)_x$ 已知能保持质量 $\int\,h \, dx$ 守恒，并且在 $a_1 \leq 0$ 的情况下，能耗散熵 $\int\,h^{3/2 - n}\,dx$（见 [8]）和梯度的 $L^2$ 范数 $\int\,h_x^2\,dx$（见 [3]）。对于 $a_1 = 0$ 的特殊情况，Laugesen 最近发现了一个新的耗散量 $\int\, h^{\alpha}\,h_x^2\,dx$，适用于正经典解（见 [15]）。我们以两种方式推广了这一结果。首先，我们证明了 Laugesen 泛函对于强非负广义解是耗散的。其次，我们证明了在不稳定多孔介质扰动 $a_1> 0$ 和临界指数 $m = n+2$ 的情况下，完整的 $\alpha$-能量 $\int\,\bigl(\frac{1}{2} \,h^\alpha \, h_x^2\, - \frac{a_1\,h^{\alpha + m - n + 2}}{(\alpha + m - n + 1)(\alpha + m - n + 2)} \bigr)\, dx$ 对于强非负广义解是耗散的。