高维薄膜方程的稳态解与动力学行为

本文研究一种高维薄膜方程，包含聚集与排斥之间的相互作用，其中排斥由四阶扩散建模，聚集由逆向二阶退化扩散建模，退化扩散指数为 $m>0$。我们系统分析了所有 $m>0$ 情况下稳态解的存在性与几何性质，发现了一个临界阈值 $m^*=(d+2)/(d-2)$，用于变分紧凑性与解的结构。对于 $0 < m < m^*$，我们证明了在自然正则性约束下，径向递减型稳态解同时也是 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式的极值以及自由能的全局最小化者。此外，我们建立了该类稳态解的唯一性（当 $m \neq 1 + 2/d$ 时）。进一步地，在超临界区间 $1 + 2/d < m < m^*$ 中，我们识别出一个锐阈值，由唯一径向稳态解的 $L^{m+1}$ 范数给出，该阈值区分了初始数据在阈值以下时全局存在与超过阈值时有限时间 blow-up。本文的主要贡献在于将稳态解作为理论枢轴，构建统一的分析框架，将参数分类、变分结构与动力学行为联系起来。该框架阐明了正则性壁垒如何防止无限能量下降并选择稳定平衡态，从而预测系统的全局演化，为理解此类高阶退化扩散方程中的稳态选择与动力学分叉提供统一的变分原理。