薄膜型方程稳态的能量能级

我们通过耗散能量（一个李雅普诺夫函数）研究演化方程 h_t = -(f(h) h_{xxx})_x - (g(h) h_x)_x 的相空间。这里 h(x,t) 非负，且在 h=0 时系数函数 f>0 与 g 可以退化到 0、爆破到无穷，或趋于非零常数。我们首先证明若 g/f 为凸，或允许扰动的周期长于稳态的周期，则所有正周期稳态都是演化的“能量不稳定”不动点（意即在某些零均值扰动下能量下降）。对于幂律系数（对某些 B > 0，f(y) = y^n 且 g(y) = B y^m），我们解析地确定了不同稳态间的相对能量能级。例如，当 m-n 在 [1,2) 内且适当选取周期与均值时，我们找到三种根本不同的稳态。其一是常数稳态，它是非线性稳定的且为能量的局部极小。其二是正周期稳态，它是线性不稳定的且能量高于常数稳态；它是一个鞍点。其三是周期排列的“液滴”（紧支撑）稳态，其能量低于正周期稳态与常数稳态二者。由于沿每条轨道能量必下降，这些结果显著约束了演化方程的动力学。我们的结果表明某些稳态之间可能存在异宿连接，例如从周期稳态到液滴稳态。在配套文章中我们进行了数值模拟以证实其存在。