整数 Carathéodory 秩的新界

给定一个有理尖 $n$ 维锥 $C$，我们研究整数 Carathéodory 秩 $\operatorname{CR}(C)$ 及其渐近形式 $\operatorname{CR^{\rm a}}(C)$，其中我们考虑锥中“绝大多数”整数向量。主要结果显著改进了先前已知的 $\operatorname{CR^{\rm a}}(C)$ 上界。我们还研究了 $\operatorname{CR}(C)$ 关于 $\Delta$ 的界，其中 $\Delta$ 是 $C$ 的整多面体表示所给矩阵的最大绝对 $n\times n$ 子式。若 $\Delta\in\lbrace 1,2\rbrace$，我们证明 $\operatorname{CR}(C) = n$，并给出了单纯锥上的上界，改进了 $\Delta\leq n$ 时 $\operatorname{CR}(C)$ 的最佳已知上界。