神经形状算子替代物——表达式速率上界

我们对解算在与参考域 $D_{ref}$ 同胚关系的域族中偏微分方程和边界积分方程的解算子替代物的误差界进行了证明。通过对偏微分方程在 $D_{ref}$ 上的 pullback 所实现的仿射参数化形状编码，产生了在 $D_{ref}$ 上的一族全纯参数化 PDE。给出足够的条件，保证该参数化解算族在 $D_{ref}$ 上均匀 well-posed，这意味着参数解族在 $D_{ref}$ 上的存在性、唯一性和稳定性。我们通过审阅一系列椭圆型和抛物型 PDE 的最近全纯性结果来说明抽象假设。量化的参数全纯性意味着可在 $D_{ref}$ 上的参数解族存在有限参数、离散的近似，收敛速率取决于参数数量 $N$。我们获得了对神经算子和谱算子在可接受形状集合上的 shape-to-solution 映射存在的构造性证明，给出误差界和收敛速率保证，这些保证在该集合的所有成员上均为 uniform。我们允许使用主成分形状编码器和帧解码器。我们的结果支持特别是神经算子能够实现的数据到解的映射对于椭圆型和抛物型 PDE 以及边界积分方程 (BIE) 能够在参数化形状族之间普遍化（empirically reported）。