多边形中线性椭圆 PDE 的神经算子表达率

我们研究了一类深度神经网络近似算子的数值逼近率，这些算子作为数据到解的映射 $\mathcal{S}$ 对于线性椭圆型偏微分方程(PDE)，在一对合适的无限维空间之间起作用。我们证明了具有结构 $\mathcal{G} = \mathcal{R} \circ \mathcal{A} \circ \mathcal{E}$ 的近似神经算子 $\mathcal{G}$ 的表达式速率界限，其中 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{R}$ 为线性编码器和解码器。我们特别关注在多边形和某些 polyhedra 中的椭圆 PDE 的系数到解映射的 deepONet。利用椭圆 PDE 在多边形中的解集的光滑性，我们显示对于数据光滑性有限的问题，收敛率为代数级；对于解析数据，收敛率为指数级。