具有通用激活函数的深度神经网络：在索伯莫夫空间中的超收敛

本文在索伯莫夫空间$W^{n,\infty}$中，对深度全连接神经网络（采用常用且通用的激活函数）进行全面逼近分析，误差以$W^{m,p}$范数衡量，其中$m < n$且$1 \leq p \leq \infty$。所得收敛率超越经典数值逼近技术（如有限元和谱方法），呈现我们称之为超收敛的现象。我们的分析表明，具有通用激活函数的深度网络可在逼近层面对偏微分方程（PDE）的弱解进行优越精度逼近。此外，本工作弥合了神经网络求解偏微分方程误差估计理论的重大空白，为其在科学计算中的应用提供了统一的理论基础。