神经编码、可判定性与一种新的局部凸性阻碍
组合数学
2019-02-22 v2 计算几何
神经元与认知
摘要
给定欧氏空间中任意集合的交叠模式，是否存在欧氏空间中凸开集的排列展现出相同的交叠？这一问题本质上是组合与拓扑的，但受神经科学驱动。具体而言，我们感兴趣于一种称为位置细胞（place cell）的神经元，它恰在生物体处于某一通常凸的区域（称为位置野）时放电。因此，前述问题可重述为：哪些神经编码，即神经活动的模式，可由一族凸开集产生？为解答此问题，Giusti与Itskov证明了凸神经编码没有“局部阻碍”，后者通过编码的单纯复形的拓扑定义。无局部阻碍的编码称为局部良（locally good），因为该阻碍排除了编码来自构成良覆盖的开集交叠的可能。换言之，每个良覆盖编码都是局部良的。本文我们证明逆命题：每个局部良编码都是良覆盖编码。我们还证明了良覆盖判定问题是不可判定的。最后，我们揭示了一种更强的局部阻碍类型，它阻止一个编码成为凸的，并证明相应的判定问题是NP难的。我们的证明使用了组合与拓扑方法。
引用
@article{arxiv.1803.11516,
title = {Neural codes, decidability, and a new local obstruction to convexity},
author = {Aaron Chen and Florian Frick and Anne Shiu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1803.11516},
year = {2019}
}