组合神经编码 poset 中的覆盖关系

组合神经编码是由子集 $2^{[n]}$ 构成的集合，其中每个 $1\leq i\leq n$ 表示一个神经元，而每个元素（codeword）代表某些神经元的共同放电事件。考虑一个空间 $X\subseteq\mathbb{R}^d$，模拟动物的环境，以及一组开子集的集合 $\mathcal{U}=\{U_1,\dots,U_n\}$。其中每个 $U_i\subseteq X$ 模拟一个位置场，是特定区域内位置细胞 $i$ 活动的区域。神经编码 $\mathcal{U}$ 在 $X$ 中的代码定义为 $\text{code}(\mathcal{U},X)=\left\{\sigma\subseteq[n]\bigg|\bigcap_{i\in\sigma} U_i\setminus\bigcup_{j\notin\sigma}U_j\neq\varnothing\right\}$。如果某个神经编码 $\mathcal{C}=\text{code}(\mathcal{U},X)$ 存在于某个 $X$ 和 $\mathcal{U}$ 的情况下，我们说 $\mathcal{C}$ 具有由某空间 $X$ 中开子集实现的神经编码。尽管任何组合神经编码显然可以通过某些开子集实现，但确定其是否可以通过某些开凸子集实现仍是未解之谜。许多研究尝试解决这一决策问题，但仅取得了部分结果。事实上，先前的研究表明，凸神经编码的决策问题是 NP-hard 的。此外，本文的作者推测，每个凸神经编码都可作为由可表示定向单体神经编码的次级图实现的次级图，从而在凸神经编码与 polytope 凸神经编码之间建立等价性。尽管该猜想在二维维度中已被证实，但在更高维度中仍未知晓。为推进该猜想的研究，本文对 $\mathbf{P_{Code}}$ 中神经编码的覆盖关系进行了完整特征化。