神经代码中的凸性障碍

大脑如何编码空间结构？一种方式是通过称为位置细胞（place cells）的海马神经元，它们与被称为其感受野的空间凸区域相关联：每当动物处于感受野内时，每个位置细胞就以高速率放电。多个位置细胞的放电模式形成了所谓的凸神经代码（convex neural code）。我们如何判断一个神经代码是否为凸的？为解决这个问题，Giusti和Itskov确定了通过代码的单纯复形（simplicial complex）的拓扑定义的局部障碍，并证明凸神经代码没有局部障碍。Curto等人证明了对于至多四个神经元的所有神经代码其逆命题成立。通过一个关于五个神经元的反例，我们表明该逆命题一般情况下不成立。此外，我们对所有没有局部障碍的五个神经元代码进行了分类。这一分类得益于我们枚举了至多同构的5个顶点上的连通单纯复形。最后，我们考察局部障碍如何与极大码字（maximal codewords，即共同放电的极大神经元集合）相关联。Curto等人证明了一个代码没有局部障碍当且仅当它包含某些极大码字的“强制性”交集。我们给出了一个判断极大码字交集为非强制性的新准则，并证明它分类了至多5个神经元的代码的所有此类非强制性码字。