$(2\ell\pi)^3$域中紧凑三叶草结的Navier-Stokes界与标度

对于在Navier-Stokes方程下演化的受扰三叶草涡旋结，识别出一系列与$\nu$无关的时间$t_m$，对应于一组标度化的体积积分涡量矩$\nu^{1/4}{\it O}_{V1}$，具有层次$t_\infty\le\dots\le t_m\dots t_1=t_x\approx40$，且${\it O}_{Vm}=(\int_{V\ell}|\omega|^{2m}dV)^{1/2m}$。对于$Z(t)={\it O}^2_{V1}(t)$（体积积分涡度），$\sqrt{\nu}Z(t)$在$t_x=t_1$处的收敛标志着重联标度阶段的结束。物理上，重联源于双涡层的形成，然后是一个结，该结分裂成螺旋。随后$Z$加速，导致能量耗散率$\epsilon(t)=\nu Z(t)$在$t_\epsilon\sim 2t_x$处近似有限时间且与$\nu$无关的收敛，并在有限跨度$\Delta T_\epsilon\searrow 0.5 t_\epsilon$上持续，从而给出雷诺数无关的有限时间耗散$\Delta E_\epsilon=\int_{\Delta T_\epsilon}\epsilon dt$，因此满足耗散异常的一个定义。在$\Delta T_\epsilon$上发现了瞬态Kolmogorov-like涡度谱的证据。实现这些时间收敛定律的一个关键因素是，随着$\nu$减小，域$V_\ell=(2\ell\pi)^3$如何增大：从$\ell=2$到6，然后到$\ell=12$。附录中$(2\ell\pi)^3$域与已建立的$(2\pi)^3$数学的兼容性允许小$\nu$的Navier-Stokes解。考虑了$\nu$的两个跨度。在$\nu$的第一个25倍减小过程中，所有$\nu^{1/4}{\it O}_{Vm}(t)$收敛到各自的$t_m$。在$\nu$的下一个5倍减小过程中，$\ell$增大到$\ell=12$，只有$\nu^{1/4}\Omega_{V\infty}(t)$收敛到$t_\infty$，以及随后$\sqrt{\nu}Z(t)$在$t_1=t_x$处收敛，$\epsilon(t)$在$t\sim t_\epsilon$处收敛。