Navier-Stokes三叶结重联的标度律

通过数值模拟研究了扰动螺旋三叶结涡环与一组反平行涡旋，以确定其螺旋度与涡量范数在重联过程中的标度行为。对于体积积分涡量平方 $Z=\int\omega^2 dV$，在两种构型中均识别出一个新的标度区：当粘性 $\nu$ 变化时，所有 $\sqrt{\nu}Z(t)$ 在 $\nu$-无关的时刻 $t_x$ 处相交，该时刻被确定为首次重联事件结束的时刻。通过将 $B_\nu(t)=(\sqrt{\nu}Z)^{-1/2}$ 线性外推至零得到临界时刻 $T_c(\nu)$，然后绘制 $(T_c(\nu)-t_x)(B_\nu(t)-B_x)$（其中 $B_x=B_\nu(t_x)$），可发现 $B_\nu(t)$ 的自相似线性坍缩。为维持此标度，周期域的尺寸 $\ell^3$ 须随 $\nu$ 减小而增大，如已知的Sobolev空间界所暗示的。反平行计算表明，$B_\nu(t)$ 的线性坍缩始于原始涡旋与新涡旋之间环量 $\Gamma$ 的快速、粘性无关的交换。在三叶结首次重联时刻 $t_x$ 之前及之后，其螺旋度 $\mathcal{H}$ 保持守恒，验证了Scheeler等人（2014a）的实验中心线螺旋度观测。由于三次Navier-Stokes速度范数 $L_3$ 几乎不变且Navier-Stokes $\|\omega\|_\infty$ 被Euler值所界，这些流动从不奇异。尽管如此，Navier-Stokes $Z$ 可以在短时间内增长快于Euler $Z$，随后粘性耗散率 $\epsilon=\nu Z$ 的增加在 $t\approx 2t_x$ 处显示出 $\nu$-无关的收敛。综合来看，这些结果可能构成一种新范式：光滑解在无奇点或粗糙度的情况下，当 $\ell\to\infty$ 时可产生 $\nu\to 0$ 的耗散异常（有限时间内有限耗散），正如物理湍流中所见。