若所有单位等边三角形边均平行，则 $n^2 + 1$ 个单位等边三角形无法覆盖边长 $> n$ 的等边三角形

Conway 与 Soifer 证明了边长为 $n + \varepsilon$（其中 $\varepsilon > 0$ 充分小）的等边三角形 $T$ 可被 $n^2 + 2$ 个单位等边三角形覆盖。他们猜想，无论 $\varepsilon$ 多小，都不可能用 $n^2 + 1$ 个单位等边三角形覆盖 $T$。我们证明，若要求所有单位等边三角形的边均与 $T$ 的边平行（例如 $\bigtriangleup$ 与 $\bigtriangledown$），则对任意 $\varepsilon > 0$，都不可能用 $n^2 + 1$ 个单位等边三角形覆盖边长为 $n + \varepsilon$ 的 $T$。由于 Conway 与 Soifer 的覆盖仅涉及边与 $T$ 平行三角形，我们的结果确定了覆盖 $T$ 且所有边与 $T$ 平行的单位等边三角形的精确最小数目 $n^2+2$。我们还确定了使得边长为 $n + \varepsilon$ 的等边三角形 $T$ 可被 $n^2+2$（相应地，$n^2 + 3$）个边与 $T$ 平行的单位等边三角形覆盖的 $\varepsilon$ 的最大值 $\varepsilon = 1/(n + 1)$（相应地，$\varepsilon = 1 / n$），其中第一种情形由 Conway 与 Soifer 的构造实现。