模 n 正则整数

设 $n=p_1^{\nu_1}... p_r^{\nu_r} >1$ 为一个整数。若存在整数 $x$ 使得 $a^2x\equiv a$ (mod $n$)，则称整数 $a$ 为模 $n$ 正则的。令 $\varrho(n)$ 表示满足 $1\le a\le n$ 的模 $n$ 正则整数 $a$ 的个数。此处 $\varrho(n)=(\phi(p_1^{\nu_1})+1)... (\phi(p_r^{\nu_r})+1)$，其中 $\phi(n)$ 为欧拉函数。本文首先总结了模 $n$ 正则整数的一些基本性质。随后，为了比较函数 $\varrho(n)$ 和 $\phi(n)$ 的增长速率，我们研究了函数 $\varrho(n)/\phi(n)$、$\phi(n)/\varrho(n)$ 和 $1/\varrho(n)$ 的平均阶和极值阶。