模 $n$ 正则整数个数及其在密码学中的意义

我们给出 Morgado 关于模 $n$ 非同余正则整数个数 $\varrho(n)$ 公式的四种组合证明，该序列对应于在线整数序列百科全书（OEIS）中的 A055653，其中若同余式 $m^2 x \equiv m \pmod{n}$ 有解 $x\in\mathbb{Z}$，则称整数 $m$ 模 $n$ 正则。为阐明该序列与 Morgado 公式的意义，我们将其与近期 RSA 密码系统的多素数、多幂次推广相联系。