张量特征值的多重性

我们在本文中研究张量特征值的多重性。张量的特征值 $\lambda$ 有两种自然的多重性：代数多重性 $\operatorname{am}(\lambda)$ 和几何多重性 $\operatorname{gm}(\lambda)$。前者是特征值作为特征多项式根的多重性，后者是对应于该特征值的特征簇（即特征向量集合）的维数。我们证明，代数多重性可以沿着张量在正交线性群作用下的轨道发生变化，而零特征值的几何多重性在该作用下是不变的，这是研究它们之间关系的主要困难。然而，我们证明对于一般张量，每个特征值都有唯一的（在伸缩意义下）特征向量，且代数多重性和几何多重性均为 1。一般地，对于 $m$ 阶 $n$ 维张量，我们提出关系式 $$\operatorname{am}(\lambda)\geq \operatorname{gm}(\lambda)(m-1)^{\operatorname{gm}(\lambda)-1}.$$ 我们证明该关系式在若干情形下成立，特别是当特征簇包含坐标形式的维数为 $\operatorname{gm}(\lambda)$ 的线性子空间时。由于在矩阵情形下这两种多重性均为正交线性群作用下的不变量，这推广了关于矩阵的经典结果：代数多重性不小于几何多重性。