非负弱不可约张量与一致超图谱的特征值重数

Hu 和 Ye 猜想：对于一个具有特征值 $\lambda$ 及对应特征簇 $\mathcal{V}_\lambda(\mathcal{A})$ 的 $k$ 阶 $n$ 维张量 $\mathcal{A}$，$$\mathrm{am}(\lambda) \ge \sum_{i=1}^\kappa \mathrm{dim}(V_i)(k-1)^{\mathrm{dim}(V_i)-1},$$ 其中 $\mathrm{am}(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的代数重数，$V_1,\ldots,V_\kappa$ 是 $\mathcal{V}_\lambda(\mathcal{A})$ 的所有不可约分支。在本文中，我们证明如果 $\mathcal{A}$ 是一个谱半径为 $\rho$ 的非负弱不可约张量，那么对于 $\mathcal{A}$ 的所有模为 $\rho$ 的特征值 $\lambda$，有 $\mathrm{am}(\lambda) \ge |\mathbb{V}_\lambda(\mathcal{A})|$，其中 $\mathbb{V}_\lambda(\mathcal{A})$ 是 $\mathcal{A}$ 的与 $\lambda$ 关联的射影特征簇。因此，我们证实了 Hu-Ye 猜想对于 $\mathcal{A}$ 的上述特征值 $\lambda$ 以及弱不可约 $Z$-张量的最小 H-特征值成立。我们证明了对于一致超图的邻接张量或拉普拉斯张量的特征值，Hu-Ye 猜想中的若干等式情形成立。