非交叉划分上的乘性与半乘性函数及其与累积量的关系

我们考虑非交叉划分关联代数中单位化乘性函数构成的群 $(\mathcal{G},*)$，其中“$*$”表示卷积运算。我们引入一个更大的单位化函数群 $(\widetilde{\mathcal{G}},*)$，这些函数来自同一关联代数，并满足较弱的“半乘性”条件。$\widetilde{\mathcal{G}}$ 对非交换概率空间上多线性泛函序列的自然作用，刻画了矩与一些在非交换概率文献中研究的累积量之间的转换组合学。我们利用 $\widetilde{\mathcal{G}}$ 的框架来解释为何自由随机变量的乘法可以很好地用布尔累积量描述，更一般地用 $t$-布尔累积量描述——后者是 Bozejko 和 Wysoczanski 的工作中出现的自由累积量与布尔累积量之间的一参数插值。已知群 $\mathcal{G}$ 可自然识别为对称函数 Hopf 代数 Sym 的特征标群。我们证明 $\widetilde{\mathcal{G}}$ 也可识别为 Hopf 代数 $\mathcal{T}$ 的特征标群，而 $\mathcal{T}$ 是 Schmitt 意义下的关联 Hopf 代数。此外，$\mathcal{G}$ 到 $\widetilde{\mathcal{G}}$ 的包含关系，恰好是 $\mathcal{T}$ 到 Sym 的自然双代数同态的对偶。