AKNS hierarchy 的多形式描述与经典 r-矩阵

近年来，某些可积经典场论在哈密顿形式体系中的时空对偶新性质被发现，并借助协变哈密顿场论的思想得以重新表述：在此意义上，其经典 $r$-矩阵结构的协变性质被揭示。在此，我们解决了将这些结果推广至整个 hierarchy 的开放问题。我们选择 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）hierarchy。为此，我们首次为整个 AKNS hierarchy 引入拉格朗日多形式。我们利用它显式构造我们此前引入的必要对象：辛多形式、多时间泊松括号和哈密顿多形式。借助这些，我们证明如下结果：$(i)$ 包含该 hierarchy 整个 Lax 矩阵序列的 Lax 形式具有有理经典 $r$-矩阵结构；$(ii)$ AKNS hierarchy 的零曲率方程是对应于我们的哈密顿多形式和多时间泊松括号的多形式哈密顿方程；$(iii)$ 哈密顿多形式提供了一种刻画该 hierarchy 无穷守恒律集合的方式，令人联想到对首次积分 $I$ 的熟悉判据 $\{I,H\}=0$。