多维$\delta$-激波与输运及聚集过程

研究了守恒律多维系统中的{\it $\delta$-激波型解}：$$\rho_t + \nabla\cdot(\rho F(U))=0, \qquad (\rho U)_t + \nabla\cdot(\rho N(U))=0, \quad x\in \bR^n,$$ 其中 $F=(F_j)$ 为给定向量场，$N=(N_{jk})$ 为给定张量场，$F_j, N_{kj}:\bR^n \to \bR$，$j,k=1,...,n$；$\rho(x,t)\in \bR$，$U(x,t)\in \bR^n$。该系统的著名特例包括标准形式的零压气体动力学 $$\rho_t + \nabla\cdot(\rho U)=0, \quad (\rho U)_t + \nabla\cdot(\rho U\otimes U)=0,$$ 以及相对论形式 $$\rho_t + \nabla\cdot(\rho C(U))=0, \quad (\rho U)_t + \nabla\cdot(\rho U\otimes C(U))=0,$$ 其中 $C(U)=\frac{c_0U}{\sqrt{c_0^2+|U|^2}}$，$c_0$ 为光速。我们引入了构成上述系统$\delta$-激波定义的积分恒等式，并利用该定义推导了曲线$\delta$-激波的 Rankine--Hugoniot 条件。我们表明$\delta$-激波与{\em 输运过程和聚集过程}相关联，并推导了描述波前外部体积与波前之间质量和动量输运的$\delta$-激波平衡律。在零压气体动力学情形下，输运过程即为聚集过程。我们还证明了波前外部体积的能量和总能量是{\em 非增量的}。讨论了零压气体动力学中{\em 运动学自引力效应}和{\em $\delta$-激波维数分岔效应}的可能性。