3D 理想不可压缩流中质量刚性环的运动

我们考察浸入无粘性不可压缩流体中的刚性刚体的运动。在二维情况下，与该系统相关的重要物理效应即著名的 Kutta-Joukowski 效应。本文中我们在三维情形下识别了类似效应。为此，我们首先将刚体的牛顿动力学重构为关于刚体速度6分量的一阶非线性常微分方程（在刚体坐标系中）。随后我们聚焦于特定情形：刚体占据半径趋于零时的细长管状域，其中心线为光滑闭合曲线，横截面为圆形，固定惯性和沿曲线的循环。我们证明，极限质量刚性环的动力学由一阶非线性常微分方程给出，其系数仅依赖于惯性、流体涡旋以及通过两个3D向量构成的闭合曲线——这些向量参与一种反对称 $6 \times 6$ 矩阵，该矩阵出现在极限力和扭矩中，这一结构类似于二维 Kutta-Joukowski 效应。我们还识别了极限流体动力学为，其中如同纯粹的 Euler 方程，涡旋根据常规的传递方程（含伸缩项）演化，但其速度场不仅来自流体涡旋，也来自与极限刚性环周围循环相关的涡旋丝 filament。该结果与由流体制成、具有非零循环的丝 filament的情况形成鲜明对比——后者在零半径极限下会导致丝 filament的速度无穷大。然而，考虑对应固定密度的惯性比例缩放，我们证明存在解使得固体速度及其位移在规模为 $\mathcal{O}(1)$ 的时间区间内趋于无穷大。