三维理想流体的代数、拓扑与代数拓扑

在三维几何与拓扑中存在一个引人注目且典型的问题：理解现有的三维流体运动模型或创造可能有用的模型。我们从代数观点讨论了描述不可压缩无摩擦流体运动的偏微分方程——欧拉方程。在第一部分中，我们定义了“有限维三维流体代数”，写出了其欧拉方程，并推导了与能量、螺旋度、涡量输运和环绕相关的性质，这些性质刻画了该方程。这直接受到与闭黎曼三维流形相关联的无穷维流体代数的启发，其如上定义的欧拉方程即为流体运动的欧拉偏微分方程。经典的无穷维流体代数满足一个与向量场的李括号的雅可比恒等式相关的附加恒等式。在第二部分中，我们非正式地讨论了如何在有限维近似中作为李无穷代数重新建立该雅可比恒等式。该理论发展版本的核心在于各级近似之间的一致性。希望通过这种无穷结构更好地理解欧拉方程的含义，能够产生出于概念原因而运行良好的计算算法。