抛硬币游戏推广的矩

我们推导了一个递归公式，用于计算使用一枚可能具有偏差的硬币，产生一个预设的有限二进制字符串 $S$ 时，抛掷次数的矩，其中 $S$ 要么是一连串正面，要么是一连串正面后跟一个反面。我们的递归公式涉及某些求和，我们通过使用广为人知的欧拉数的一个单参数扩展来简化这些求和，该扩展属于 Graham、Knuth 和 Patashnik 引入的双参数数族。我们还使用 Goulden-Jackson 聚类方法和 Faà di Bruno 公式，为更一般的情况建立了一个封闭公式，即反复掷一个具有任意面数且各面概率可能不同的骰子，直到出现一个预设的有限词。