黎曼球面上无序 $n\ge5$ 个点的模空间及其奇点

对于 $n\ge5$，众所周知，黎曼球面上无序 $n$ 个点的模空间 $\mathfrak{M_{0,\:n}}$ 是 $\mathbb C^{n-3}$ 的扎里斯基开集 $K_n$ 关于 $S_n$ 作用的商空间。该 $S_n$ 作用在扎里斯基开集 $K_n$ 的某些点处的稳定子对应于固定黎曼球面上 $n$ 点集合的群。设 $\alpha$ 为黎曼球面上 $n$ 个互异点的子集。我们将保持 $\alpha$ 不变的所有线性分式变换组成的群称为 $\alpha$ 的稳定子，由观察可知其为有限群。对于线性分式变换群 ${\rm PSL}(2,{\Bbb C})$ 的每个非平凡有限子群 $G$，我们给出了黎曼球面上有限子集的稳定子与 $G$ 共轭的必要条件与充分条件。我们还证明了确实存在某个黎曼球面上的有限子集，其稳定子恰为 $G$。接下来，我们得到了稳定子在 $\mathfrak{M_{0,\:n}}$ 奇点处切空间上表示的不可约分解。最后，在 $\mathfrak{M_{0,\:5}}$ 和 $\mathfrak{M_{0,\:6}}$ 上，我们明确给出了其奇点以及稳定子在这些奇点处切空间上的表示。