阿贝尔微分模空间：主边界、计数问题与 Siegel--Veech 常数
动力系统
2007-05-23 v2 代数几何
摘要
紧 Riemann 曲面 S 上的全纯 1-形式自然地在 S 上定义了一个具有锥型奇点的平坦度量。我们给出如下惊人现象：在找到连接一对锥点的测地线段（鞍连接）后，能以非零概率在 S 上找到另一条具有相同方向和相同长度的鞍连接。类似现象对平行闭测地线的族也成立。我们给出在一般平坦曲面 S 上可能找到的所有平行鞍连接（以及平行闭测地线族）构型的完整描述。我们计数一般平坦曲面 S 上长度小于 L 的鞍连接数目；我们也计数鞍连接对（三元组……）的可容许构型数目；我们计数闭测地线族的类似构型数目。根据 A.Eskin 和 H.Masur 的先前结果，这些数目关于 L 有二次渐近性。此处我们对每一类型的构型显式计算该二次渐近性中的常数。该常数由 Siegel--Veech 公式给出。为进行此计算，我们详细描述了全纯 1-形式模空间边界的主部，并求出了边界管状邻域的归一化体积的数值。我们将其用于模空间上的积分求值。
引用
@article{arxiv.math/0202134,
title = {Moduli Spaces of Abelian Differentials: The Principal Boundary, Counting Problems and the Siegel--Veech Constants},
author = {Alex Eskin and Howard Masur and Anton Zorich},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0202134},
year = {2007}
}
备注
Corrected typos, modified some proofs and pictures; added a journal reference