凸平坦锥球面的 Siegel-Veech 测度

Siegel 的一个经典定理给出了 $\mathbb{R}^n$ 中有界子集内格点的平均数目。受此结果启发,Veech 引入了平移曲面的类似公式,即 Siegel-Veech 公式,它描述了平移曲面模空间上有界长度鞍连接的平均数目。然而,对于锥角为 $\pi$ 的无理倍数的平坦曲面,目前尚无此类公式。凸平坦锥球面是一个配备共形平坦度量的黎曼球面,该度量具有锥状奇点,且所有锥角均落在区间 $(0, 2\pi)$ 内。在本文中,我们将 Siegel-Veech 公式推广到这一情形。我们定义了一个广义 Siegel-Veech 变换,并证明其在模空间上属于 $L^\infty$。由此可在 $\mathbb{R}_{>0}$ 上定义一个 Siegel-Veech 测度,通过对模空间上的 Siegel-Veech 变换积分得到。该测度可视为经典 Siegel-Veech 公式的推广。我们证明它是绝对连续的且分段实解析的。最后,我们研究了该测度在小区间 $(0,\varepsilon)$ 上当 $\varepsilon \to 0$ 时的渐近行为,为凸平坦锥球面提供了 Siegel-Veech 常数的类似物。