Hecke 群与 Fricke 群的模线性微分方程

模线性微分方程(MLDE)在二维 CFT 的分类中起着重要作用,其中的模形式属于 $\text{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的空间。对 Hecke 群 $\Gamma_{0}(N)$ 和 Fricke 群 $\Gamma_{0}^{+}(N)$ 的微分方程及其解进行系统研究,将增进我们对 CFT 分类的理解,因为此前针对 $\text{SL}(2,\mathbb{Z})$ 子群的 MLDE 分析工作十分有限。本文中,我们建立并求解了层级 $N\leq 12$ 下 Hecke 群与 Fricke 群的 MLDE,并报告了在各群中获得的容许类特征标解。我们发现仅有前四个亏格零群 $\Gamma_{0}^{+}(p)$(其中 $p$ 为 Monster 群 $\mathbb{M}$ 的素因子)拥有容许的单特征标解,并论证 $\Gamma_{0}^{+}(11)$ 的解因其 Hauptmodul 而不容许,而 $\Gamma_{0}^{+}(13)$ 的解因模形式空间的基分解性质而不容许。我们给出了 Hecke 群 $\Gamma_{0}(2)$、$\Gamma_{0}(7)$ 及其模塔中后续群 $\Gamma_{0}(49)$ 在单特征标层级上的新拟特征标解。我们还将 Fricke 群单特征标解的所有结果推广至 $\mathbb{M}$ 的所有素因子层级,并评述了各群中有助于获得容许解的有利性质。最后,我们求得层级 $p = 2,3,5,7$ 对应的 $\Theta$-级数以及各情形下的格数据(包括 Kissing 数和格半径)。我们发现层级 $p = 2$ 的 Fricke $\Theta$-级数与 $24$ 维奇 Lee 格有显著关联。