Bianchi IX 引力瞬子谱作用中的模形式

继我们关于 Bianchi IX 型宇宙学模型谱作用有理性的结果（暗示该作用中存在丰富的算术结构）之后，我们研究了一类特别有趣的度规族——即 $SU(2)$ 不变的 Bianchi IX 引力瞬子——该作用的算术与模性质。首先给出了先前合理性结果的一个变体，针对三轴 Bianchi IX 度规的含时共形扰动，其作为 Bianchi IX 引力瞬子的一般形式。通过利用带特征的 theta 函数对引力瞬子进行参数化，我们证明了在其谱作用展开中出现的每个 Seeley-de Witt 系数 $\tilde a_{2n}$ 都会产生权为 2 的向量值模函数与普通模函数。我们通过直接计算得到前三个项 $\tilde a_0$、$\tilde a_2$ 和 $\tilde a_4$ 的模性质。这引导我们基于相关 Dirac 算子的等谱性，为一般项 $\tilde a_{2n}$ 提供谱论证。通过显式研究属于两个不同一般族、具有有理数参数对的两种不同度规情形，我们特别关注了这些新模函数与著名模形式的关系。在第一种情形中，表明通过对有理数参数的有限轨道求和，直至乘以权为 12 的尖点形式 $\Delta$，每一项 $\tilde a_{2n}$ 都落入权为 14 的模形式的 1 维线性空间。在第二种情形中，证明在对参数的有限轨道求和并乘以 $G_4^4$（其中 $G_4$ 是权为 4 的 Eisenstein 级数）后，每个 $\tilde a_{2n}$ 落入权为 18 的尖点形式的 1 维线性空间。