一般偏置相邻转置链的混合行为

我们分析了一般偏置相邻转置 shuffle process，这是对称群 $S_n$ 上的一个已广泛研究的马尔可夫链。在每一步中，选择相邻的两个元素 $i$ 和 $j$，然后以概率 $p_{ij}$ 将 $i$ 放在 $j$ 之前。这种马尔可夫链源于理论计算机科学中自组织列表的研究，与统计物理和概率论中的排斥过程有着密切的联系。Fill (2003) 推测对于满足 $p_{ij} \ge 1/2$ 且满足简单单调性条件的一般 $p_{ij}$，混合时间是多项式的。我们证明对于任意固定的 $\varepsilon>0$，只要 $p_{ij} >1/2+\varepsilon$ 对所有 $i<j$ 成立，混合时间为 $\Theta(n^2)$，并 exhibits pre-cutoff。我们的关键技术结果是对一般偏置转置链在适当烧-in 期间后的空间混合形式。为了将其用于混合时间界限，我们改编了来自自旋系统背景下混合时间的多尺度论证方法以适用于对称群。