自组织列表与偏置排列的混合时间

从 $S_n$ 中采样排列是概率论中的一个基本问题。众所周知，最近邻换位链 \cal{M}}_{nn} 在均匀情况下的收敛时间为 $\Theta(n^3 \log n)$，而在常偏置情况下（即以概率 $p \neq 1/2$ 将相邻元素置为有序，以概率 $1-p$ 置为无序）的收敛时间为 $\Theta(n^2)$。本文考虑变偏置情况，即以概率 $p_{x,y}$ 将相邻元素 $x<y$ 置为有序，以概率 $1-p_{x,y}$ 置为无序。界定 $M_{nn}$ 混合率的问题由 Fill 提出，其动机源于 Move-Ahead-One 自组织列表更新算法。有人猜想，若对所有 $x < y$ 均有 $1/2 \leq p_{x,y} \leq 1$，则该链始终是快速混合的，但这一结论仅在常偏置情况或 $p_{x,y}$ 等于 $1/2$ 或 $1$ 的情况下已知成立，后者对应于对偏序集的线性扩展进行采样。我们证明了该链在两类情况下是快速混合的：一是“选择你的武器”（Choose Your Weapon），其中给定 $r_1,..., r_{n-1}$ 且 $r_i \geq 1/2$，对所有 $x<y$ 有 $p_{x,y}=r_x$（即主导者选择博弈，从而固定其获胜概率）；二是“联盟层级”（League Hierarchies），其中存在两个联盟，A 联盟玩家击败 B 联盟玩家的概率固定，各联盟内部玩家类似地划分为子联盟并具有可能不同的固定概率，以此递归进行。这两类情况均将常偏置排列作为特例包含在内。此外，我们还通过构造反例证明了最一般的猜想是错误的：在该反例中，对所有 $x< y$ 均有 $1/2 \leq p_{x,y} \leq 1$，但最近邻换位链需要指数时间才能收敛。