过手洗牌在 $\Theta(n^2\log n)$ 步内混合

过手洗牌是“真实”的洗牌方法之一，意指确实有人用它来混合一副牌。Pemantle [J. Theoret. Probab. 2 (1989) 37--49] 构建并分析了一个数学模型，他证明关于变异距离的混合时间至少为 $n^2$ 阶，至多为 $n^2\log n$ 阶。本文利用 Wilson [Ann. Appl. Probab. 14 (2004) 274--325] 一个引理的推广，建立了 $n^2\log n$ 阶的下界，从而表明 $n^2\log n$ 确为混合时间的正确阶。我们希望 Wilson 引理的推广在其他情形也有用处；文中演示了如何用它给出 Wilson [Electron. Comm. Probab. 8 (2003) 77--85] 关于 Rudvalis 洗牌的 $\Theta(n^3\log n)$ 下界的简化证明。