集合划分上 Burnside 过程马尔可夫链的混合时间

设 $X$ 为有限集，$G$ 为作用在 $X$ 上的有限群。该群作用将 $X$ 划分为互不相交的轨道。Burnside 过程是定义在 $X$ 上的马尔可夫链，当该链被凝聚到轨道上时具有均匀的平稳分布。我们考虑 $X = [k]^n$（其中 $k \geq n$）且 $G = S_k$ 为 $[k]$ 上的对称群的情形，此时 $G$ 通过置换每个坐标的值来作用于 $X$。由此得到的 Burnside 过程给出了一种均匀随机采样 $[n]$ 的集合划分的新算法。我们得到了混合时间的界，并证明该链是快速混合的。对于 $k < n$ 的情形，该算法对应于采样至多含 $k$ 个块的 $[n]$ 的集合划分，我们得到了与 $n$ 无关的混合时间界。在此过程中，我们得到了原始过程及凝聚链的转移概率的显式公式，以及对第二大特征值的界。