Burnside 过程在 Sylow 双余弦上的极限轮廓与截断现象

本文给出 Burnside 过程在对称群 $S_n$ 中 Sylow $p$-双余弦混合时间的尖锐估计。该过程是 $S_n$ 上的马尔可夫链，可用于均匀抽样 Sylow $p$-双余弦。分析适用于 $n = pk$ 且 $k < p$ 的情况。主要结果描述了当 $p \to \infty$ 时，距离平稳分布的距离的极限轮廓。从该极限轮廓可得以下两个推论：第一，若 $k$ 在 $p \to \infty$ 时保持不变，则需要约 $p$ 步才能混合，且不存在截断现象。第二，若 $k \to \infty$ 且 $p \to \infty$，则在 $p \log k$ 处发生截断，窗口大小为 $p$。该极限轮廓源于对 Burnside 过程与其平稳分布之间距离的显式上、下界。这些非渐近界给出即使 $p$ 较小（如 11）时也非常精确的近似。