月亮多联骨牌 01-填充上的混合统计量

我们在月亮多联骨牌的 01-填充背景下，建立了东北链和东南链数量之间更强的对称性。设 $\M$ 是一个具有 $n$ 行和 $m$ 列的月亮多联骨牌。考虑 $\M$ 的所有 01-填充，其中每行至多有一个 1。我们针对 $\M$ 的行或列的一个二分划引入了四个混合统计量。更精确地说，设 $S \subseteq \{1,2,..., n\}$ 且 $\mathcal{R}(S)$ 为索引在 $S$ 中的行的并集。对于任意填充 $M$，顶部混合统计量 $\alpha(S; M)$（相应地，底部混合统计量 $\beta(S; M)$）是顶部（相应地，底部）单元格在 $\mathcal{R}(S)$ 中的东北链的数量，加上顶部（相应地，底部）单元格在 $\mathcal{R}(S)$ 补集中的东南链的数量之和。类似地，我们定义了左混合和右混合统计量 $\gamma(T; M)$ 和 $\delta(T; M)$，其中 $T$ 是列索引集 $\{1,2,..., m\}$ 的一个子集。令 $\lambda(A; M)$ 为这四个统计量 $\alpha(S; M)$、$\beta(S; M)$、$\gamma(T; M)$ 和 $\delta(T; M)$ 中的任意一个，我们证明了对 $(\lambda(A; M), \lambda(\bar A; M))$ 的联合分布是对称的，并且与子集 $S, T$ 无关。特别地，统计量对 $(\lambda(A;M), \lambda(\bar A; M))$ 与 $(\se(M),\ne(M))$ 同分布，其中 $\se(M)$ 和 $\ne(M)$ 分别是 $M$ 的东南链和东北链的数量。