混合交换子长度、圈积与一般秩

在本文中，对于群 $G$ 及其正规子群 $N$ 组成的对 $(G,N)$，我们考虑混合交换子子群 $[G,N]$ 上的混合交换子长度 $\mathrm{cl}_{G,N}$。我们聚焦于圈积的情形：$(G,N)=(\mathbb{Z}\wr \Gamma, \bigoplus_{\Gamma}\mathbb{Z})$。随后我们根据 Malcev 意义下的一般秩确定了混合交换子长度。作为推论，当阿贝尔群 $\Gamma$ 不是局部循环时，对上述对而言普通交换子长度 $\mathrm{cl}_G$ 在 $[G,N]$ 上与 $\mathrm{cl}_{G,N}$ 不一致。另一方面，我们证明若 $\Gamma$ 是局部循环的，则对每一个满足 $1\to N\to G\to \Gamma \to 1$ 正合的对 $(G,N)$，$\mathrm{cl}_{G}$ 与 $\mathrm{cl}_{G,N}$ 在 $[G,N]$ 上一致。我们还研究了当群 $\Gamma$ 属于与曲面群相关的某类时的置换圈积情形。