广义煎饼图中的圈长

本文考虑可嵌入广义煎饼图边上的圈长，该图是由前缀反转生成的广义对称群$S(m,n)$的Cayley图。广义对称群$S(m,n)$是$m$阶循环群与$n!$阶对称群的圈积。我们主要关注底层的无向图，记为$\mathbb{P}_m(n)$。当循环群含一个或两个元素时，这些图分别同构于煎饼图与焦煎饼图。我们证明当循环群含三个元素时，$\mathbb{P}_3(n)$具有所有可能长度的圈，从而类似于煎饼图与焦煎饼图的同类性质。此外，$\mathbb{P}_4(n)$具有所有偶长度的圈。我们利用这些结果作为基例，并证明若$m>2$为偶数，$\mathbb{P}_m(n)$具有从其围长到Hamilton圈的的所有偶长度圈；而当$m>2$为奇数时，$\mathbb{P}_m(n)$具有从其围长到Hamilton圈的所有长度圈。我们进一步证明当$m\geq3$时$\mathbb{P}_m(n)$的围长为$\min\{m,6\}$，从而补充了$m=1,2$时的已知结果。