MINRES-QLP：一种用于不定或奇异对称系统的Krylov子空间方法

CG、SYMMLQ和MINRES是求解对称线性方程组的Krylov子空间方法。当这些方法应用于不相容系统（即奇异对称最小二乘问题）时，CG可能崩溃，SYMMLQ的解可能发散，而MINRES会给出最小二乘解，但不一定是最小长度（伪逆）解。这一认识促使我们设计一种类似MINRES的算法来计算奇异对称系统的最小长度解。MINRES使用Lanczos过程中三对角矩阵的QR分解（其中R是上三对角矩阵）。MINRES-QLP使用QLP分解（其中右侧的旋转将R化为下三对角形式）。在病态系统（奇异或非奇异）上，MINRES-QLP能给出比MINRES更精确的解。我们推导了预条件化的MINRES-QLP、新的停止准则，以及解和残差范数、矩阵范数和条件数的更好估计。