MinAres：一种用于对称线性系统的迭代求解器

我们引入一种名为MINARES的迭代求解器，用于对称线性系统 $Ax \approx b$，其中 $A$ 可能奇异。MINARES基于对称Lanczos过程，如同MINRES与MINRES-QLP，但其在每个Krylov子空间中最小化 $\|Ar_k\|$ 而非 $\|r_k\|$，其中 $r_k$ 为当前残差向量。当 $A$ 对称时，MINARES最小化与LSMR相同的量 $\|Ar_k\|$，但在更相关的Krylov子空间中，且每次迭代仅需一个矩阵-向量乘积 $Av$，而LSMR需要两个。我们与MINRES-QLP和LSMR进行的数值实验表明，MINARES在一致对称系统上是恰当的替代方案，且是不一致对称系统上最合适的Krylov方法。我们从一个等价的求解器CAR推导出MINARES的性质，CAR之于MINARES如同CR之于MINRES，其不基于Lanczos过程，并在与MINARES相同的Krylov子空间中最小化 $\|Ar_k\|$。我们确立当 $A$ 正定时，MINARES与CAR生成单调的 $\|x_k - x_{\star}\|$、$\|x_k - x_{\star}\|_A$ 与 $\|r_k\|$。