BiLQ：一种具有拟最小误差性质的非对称线性系统迭代法

我们引入一种名为 BiLQ 的迭代法，用于求解一般方阵线性系统 Ax = b，该方法基于由最小范数子问题定义的 Lanczos 双正交化过程，并且是 BiCG 和 QMR 的自然补充。尽管 BiCG（Fletcher, 1976）、CGS（Sonneveld, 1989）和 BiCGSTAB（van der Vorst, 1992）迭代在 A 的三对角投影奇异时可能不存在，BiLQ 即使在 A 病态或秩亏时也能可靠地用于相容系统。如同对称情形，BiCG 残差通常小于 BiLQ 残差，且当 BiCG 迭代存在时，可由 BiLQ 迭代廉价地转移得到。尽管 BiLQ 误差的欧氏范数通常不单调，但在依赖于 Lanczos 向量的另一种范数下是单调的。我们对 QMR（Freund and Nachtigal, 1991）残差建立了类似性质。BiLQ 与 QMR 结合可利用两个初始向量，以类似于单独使用任一方法的代价同时求解一个系统及其伴随系统。我们基于正交三对角化过程（Saunders, Simon, and Yip, 1988）推导了 USYMLQ 与 USYMQR 的类似组合。所得组合命名为 BiLQR 和 TriLQR，可用于估计涉及原系统及伴随系统解的积分泛函。我们将 BiLQR 和 TriLQR 与 Minres-qlp 在相关的增广系统上比较，后者工作量与存储需求相当。实验中，就原系统与伴随系统的残差和误差而言，BiLQR 比 TriLQR 和 MINRES-QLP 更早终止。