线性离散不适定问题的 Krylov 迭代求解器 LSQR 与 CGLS 的正则化理论，第一部分：单重奇异值情形

对于大规模线性离散不适定问题 $\min\|Ax-b\|$ 或 $Ax=b$（其中 $b$ 受白噪声污染），基于 Lanczos 双对角化的 LSQR 方法及其在数学上等价的针对 $A^TAx=A^Tb$ 的共轭梯度（CG）方法是最常用的。它们具有内在正则化效应，其中迭代次数 $k$ 起到正则化参数的作用。然而，自 1979 年 Bj\"{o}rck 和 Eld\'{e}n 提出以来，一个长期存在的基本问题一直未得到解答：对于哪类问题 LSQR 和 CGLS 能找到最佳可能的正则化解？此处最佳可能的正则化解是指其精度至少不低于通过截断奇异值分解（TSVD）方法或标准型 Tikhonov 正则化所得最佳正则化解。本文在假设 $A$ 的奇异值为单重的条件下，分析了 LSQR 对于严重、中等和轻度不适定问题的正则化性质。我们建立了底层 $k$ 维 Krylov 子空间与 $A$ 的 $k$ 维主导右奇异子空间之间 2-范数距离的精确估计。对于前两类问题，我们进而证明 LSQR 在迭代 $k_0$ 处出现的半收敛时找到了最佳可能的正则化解，并且对于 $k=1,2,\ldots,k_0$，(i) $k$ 步 Lanczos 双对角化总是生成对 $A$ 的近最佳秩 $k$ 逼近；(ii) $k$ 个 Ritz 值总是按自然顺序逼近前 $k$ 个大奇异值；(iii) $k$ 步 LSQR 总是捕获 $A$ 的 $k$ 个主导 SVD 分量。对于第三类问题，我们证明 LSQR 通常不能找到最佳可能的正则化解。数值实验证实了我们的理论。