求解一般形式正则化大规模离散不适定问题的修正截断随机奇异值分解（MTRSVD）算法

本文针对具有一般形式正则化的大规模线性离散不适定问题：${\min} \|Lx\|$ 满足 ${\min} \|Ax - b\|$（其中 $L$ 是正则化矩阵），提出了新的基于随机化的算法。我们的算法受到仅适用于中小规模问题的修正截断奇异值分解（MTSVD）方法，以及能生成 $A$ 的良好低秩近似的随机 SVD（RSVD）算法的启发。我们通过截断 $A$ 的秩-$(k+q)$ RSVD 近似，使用秩-$k$ 截断随机 SVD（TRSVD）来近似 $A$，其中 $q$ 是过采样参数。所得算法称为修正 TRSVD（MTRSVD）方法。在每一步，我们使用 LSQR 算法求解产生的内层最小二乘问题，并证明随着 $k$ 增大，该问题条件数变好，使得 LSQR 收敛更快。我们针对严重、中度和轻度不适定问题，给出了 RSVD 和 TRSVD 近似精度的严格界限，并显著改进了 TRSVD 近似的一个已知基本界限。我们证明了如何选择 LSQR 的停止容差，以保证计算出的最佳正则化解与精确最佳正则化解具有相同的精度。数值实验表明，MTRSVD 得到的最佳正则化解与截断广义奇异值分解（TGSVD）算法得到的解一样精确，并且至少与现有的一些截断随机广义奇异值分解（TRGSVD）算法得到的解同样精确。