LSQR用于线性离散不适定问题的Krylov子空间、低秩逼近与Ritz值：多重奇异值情形

对于大规模线性离散不适定问题 $\min\|Ax-b\|$ 或 $Ax=b$（其中 $b$ 受白噪声污染），基于Golub-Kahan双对角化的LSQR方法及其数学等价的CGLS（应用于 $A^TAx=A^Tb$ 的共轭梯度（CG）法）是最常用的。它们具有内在正则化效应，其中迭代次数 $k$ 起正则化参数的作用。长期存在的基本问题是：{\em LSQR和CGLS能否找到2-范数滤波最佳可能的正则化解}？作者已对 $A$ 的奇异值为单重时的严重和中等不适定问题给出了明确回答。本文将结果推广到多重奇异值情形，并研究了Krylov子空间的逼近精度、Golub-Kahan双对角化生成的低秩逼近的质量以及Ritz值的收敛性质。对这两类问题，我们证明LSQR在半收敛处找到2-范数滤波最佳可能的正则化解。特别地，我们考虑了关于奇异值 $\sigma_k=\mathcal{O}(k^{-\alpha})$（$\alpha>0$）的不适定问题的 $A$ 的最佳、近最佳和一般秩 $k$ 逼近的一些重要且未触及的问题，以及它们与其非零奇异值之间的关系。数值实验证实了我们的理论。关于一般秩 $k$ 逼近及其非零奇异值性质的结果适用于若干Krylov求解器，包括LSQR、CGME、MINRES、MR-II、GMRES和RRGMRES。