无 minor 图具有轻跨度子图

我们证明每个 $H$-minor-free 图都有一个轻的 $(1+\epsilon)$-spanner，解决了 Grigni 和 Sissokho 的一个开放问题并证明了 Grigni 和 Hung 的一个猜想。我们的轻度界为 $$O\left(\frac{\sigma_H}{\epsilon^3}\log \frac{1}{\epsilon}\right)$$ 其中 $\sigma_H = |V(H)|\sqrt{\log |V(H)|}$ 是 $H$-minor-free 图的稀疏系数。即，它对 minor $H$ 的大小具有实际依赖关系。我们的结果还意味着 Demaine、Hajiaghayi 和 Kawarabayashi 关于 $H$-minor-free 图中旅行商问题（TSP）的多项式时间近似方案（PTAS）是一个高效 PTAS，其运行时间为 $2^{O_H\left(\frac{1}{\epsilon^4}\log \frac{1}{\epsilon}\right)}n^{O(1)}$，其中 $O_H$ 忽略对 $H$ 大小的依赖。我们的技术显著偏离了关于 $H$-minor-free 图 spanner 的现有研究路线，但建立在 Chechik 和 Wulff-Nilsen 关于一般图 spanner 的工作之上。