广义幂均值曲流的最小化运动

为了回应 De Giorgi 的猜想，我们考虑了 Almgren-Taylor-Wang 方案中的均值曲流，其中体积惩罚被替换为形式为 $$\int_{E\Delta F} f\Big(\frac{ {\rm d}_F }{\tau}\Big)~dx$$ 的项，其中 $f$ 取于一大类严格递增连续函数中。特别是，我们的分析涵盖了 De Giorgi 所考虑的情形 $$f(r) = r^\alpha, \qquad r \geq 0, \quad \alpha>0,$$ 我们证明广义最小化运动方案收敛到几何演化方程 $$f(v) = - \kappa\quad \text{on $\partial E(t)$,}$$其中 $\{E(t)\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的演化子集，$v$ 是 $\partial E(t)$ 的法向速度，$\kappa$ 是 $\partial E(t)$ 的均值曲率。我们将我们的分析推广到各各异性情形，并在驱动力的存在下进行处理。我们还证明了只要光滑经典解存在，最小化运动与之一致。最后，我们证明在无外力作用下，均值凸性和凸性由弱曲流保持。