接触 Sub-Riemannian 流形中的极小曲面

本文考虑余秩 1 非完整向量分布上的泛型 Sub-Riemannian 结构，并引入相应的典范体积与“水平”面积形式。如经典情形，Sub-Riemannian 极小曲面可定义为“水平”面积泛函的临界点。我们推导了余秩 1 泛型 Sub-Riemannian 结构下极小曲面的一个内蕴方程，用典范体积形式与“水平”法向量表示。所给出的构造可描述泛型 Sub-Riemannian 流形中的 Sub-Riemannian 极小曲面，并可轻易推广到更大余秩的非完整向量分布情形。接触向量分布的情形，特别是 $(2,3)$-情形，被更细致地研究。在后一情形中，Sub-Riemannian 极小曲面的几何由其特征点（即超曲面触及水平分布的点）与特征曲线结构决定。结果表明，Heisenberg 群 $H^1$ 中 Sub-Riemannian 极小曲面特征点的已知分类，对关联于泛型接触 $(2,3)$ 分布的极小曲面依然成立。此外，我们证明在 $(2,3)$ 情形下 Sub-Riemannian 极小曲面是扩展状态空间中某 ODE 系统的积分曲面。在某些特例下该系统的 Cauchy 问题可显式求解。我们以 Heisenberg 群与旋转平移群中的 Sub-Riemannian 极小曲面为例说明了所得结果。