通过双螺旋 $\mathbb{S}^{4}(1)$ 中的等距三球 $\mathbb{S}^{3}$ 构造的最小薄片

对于每个足够大的 $m\in\mathbb{N}$，我们通过 PDE 粘接方法构建闭嵌入光滑最小薄片 ${\breve{M}_m}$，其中的等距三球 $\mathbb{S}_{\mathrm{eq}}^3$ 在 $\mathbb{S}^4(1)$ 中双螺旋化。${\breve{M}_m}$ 包含 $m^2$ 个模型为三维猫腰形且位于 $\mathbb{S}^4(1)$ 中 $m\times m$ 方格 $L$ 上的点的桥梁。这是对 Yau 在 $\mathbb{S}^4(1)$ 情形下长期提问的回答，也是对 Hsiang 的长期提问的回答。类似地，我们构建了一个在 $\mathbb{R}^4$ 中的均值曲率流自缩缩写器 ${\breve{M}_{\mathrm{shr},m}}$，其中的等距三球自缩缩写器 $\mathbb{S}_{\mathrm{shr}}^3\subset \mathbb{R}^4$ 通过 $m\times m$ 方格 $L$ 上的点的 Clifford 环面 $\mathbb{T}^2\subset \mathbb{S}_{\mathrm{shr}}^3$ 上的桥梁实现双螺旋化。两种建构都尊重了 $L$ 作为 $\mathbb{S}^4(1)$ 或 $\mathbb{R}^4$ 子集的晶格对称性，并且基于线性双螺旋 (LD) 方法论，这一方法最初在构造 $\mathbb{S}_{\mathrm{eq}}^2$ 在 $\mathbb{S}^3(1)$ 中的等距双螺旋中引入。此外，$\breve{M}_m$ 在 $m \to \infty$ 时以 varifold 语意收敛于 $2\mathbb{S}_{\mathrm{eq}}^3$，其体积 $|\breve{M}_m| < 2|\mathbb{S}_{\mathrm{eq}}^3|$。