线性化加倍方法的推广，I：一般理论及新的极小曲面与自收缩解

在本文第一部分中，我们推广了由 NK 在早期工作中引入的线性化加倍（LD）方法，证明了一个一般定理：若 $\Sigma$ 是黎曼三维流形 $(N,g)$ 中嵌入的闭极小曲面，且其雅可比算子核平凡，则给定 $\Sigma$ 上一族合适的 LD 解，可通过 PDE 粘合方法构造出类似于两份 $\Sigma$ 由许多小悬链面桥连接的极小曲面 $\breve{M}$。（$\Sigma$ 上的 LD 解 $\varphi$ 是雅可比方程具有对数奇性的奇异解，在构造中这些奇性被悬链面桥替代。）我们还确定了 $\breve{M}$ 面积 $|\breve{M}|$ 按悬链面桥尺寸展开的首个非平凡项，并确认其为负；从而有 $|\breve{M}| < 2 | \Sigma|$。我们通过首先构造 Clifford 环面的新加倍来展示定理的适用性。然后在第二部分中，我们为一般的 $(O(2)\times \mathbb{Z}_2)$-对称背景 $(\Sigma, N,g)$ 构造 LD 解族。结合第一部分的定理，这意味着为此类背景构造了新的极小加倍。（一般背景的构造仍开放。）这推广了我们先前针对 $\Sigma=\mathbb{S}^2 \subset N=\mathbb{S}^3$ 的工作，即便在该情形也给出了新构造。在第三部分，应用第一、二部分的结果——适当修改以适用于悬链面与临界悬链面——我们通过加倍球面自收缩解或 Angenent 环面构造了平均曲率流的新自收缩解，通过加倍悬链面构造了欧氏三维空间中新的完备嵌入有限总曲率极小曲面，并通过加倍临界悬链面构造了单位球中新的自由边界极小曲面。