齐性空间的度量熵

对于度量空间中的（紧）子集 $K$ 和 $\varepsilon > 0$，{\em 覆盖数} $N(K , \varepsilon )$ 定义为覆盖 $K$ 的半径 $\varepsilon$ 的球的最少个数。{\em 度量熵}（即覆盖数对于度量空间（族）的渐近行为）的知识在数学的许多领域（几何、泛函分析、概率、编码理论，仅举几例）中很重要。在本文中，我们针对一大类酉（或正交）群在若干自然度量下（最显著的是由算子范数诱导的度量）的齐性空间给出了渐近平确的覆盖数估计。这推广了作者早先关于 Grassmann 流形覆盖数的结果；该推广受非交换概率与算子代数应用的推动。在此过程中我们给出了 $U(n)$（或 $SO(m)$）中一类非黎曼度量结构的测地线的刻画。