与半群律相容的均值

若二元均值运算m(x,y)满足Gauss函数方程m(x,y) * m(x,y) = x * y（对所有x, y），则称其与半群律*相容。因此算术均值与实数集上的群加法相容，而几何均值与所有正实数集上的群乘法相容。Tanimoto利用Jacobi theta函数之一，构造了对应于Gauss算术-几何均值agm(x,y)的新颖二元运算*。Tanimoto表明它仅是一个圈运算，而非结合的。一个自然的问题是询问是否存在与算术-几何均值相容的群律*。本文我们证明不存在与agm相容的半群律，因而特别地也不存在群律。除此之外，这解释了为何Tanimoto使用theta函数的新颖运算*必定是非结合的。